卷八

○方程(以御錯糅正負)
今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,
下禾一秉,實三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,實二十六斗。問上、
中、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗
之一。下禾一秉二斗四分斗之三。
方程
〔程,課程也。群物總雜,各列有數,總言其實。令每行為率。二物者再程,
三物者三程,皆如物數程之。並列為行,故謂之方程。行之左右無所同存,且為
有所據而言耳。此都術也,以空言難曉,故特系之禾以決之。又列中、左行如右
行也。〕
術曰:置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,實三十九斗於右方。中、左禾列
如右方。以右行上禾遍乘中行,而以直除。
〔為術之意,令少行減多行,反覆相減,則頭位必先盡。上無一位,則此行
亦闕一物矣。然而舉率以相減,不害餘數之課也。若消去頭位,則下去一物之實。
如是疊令左右行相減,審其正負,則可得而知。先令右行上禾乘中行,為齊同之
意。為齊同者,謂中行直減右行也。從簡易雖不言齊同,以齊同之意觀之,其義
然矣。〕
又乘其次,亦以直除。
〔復去左行首。〕
然以中行中禾不盡者遍乘左行,而以直除。
〔亦令兩行相去行之中禾也。〕
左方下禾不盡者,上為法,下為實。實即下禾之實。
〔上、中禾皆去,故餘數是下禾實,非但一秉。欲約眾秉之實,當以禾秉數
為法。列此,以下禾之秉數乘兩行,以直除,則下禾之位皆決矣。各以其餘一位
之秉除其下實。即計數矣用算繁而不省。所以別為法,約也。然猶不如自用其舊。
廣異法也。〕
求中禾,以法乘中行下實,而除下禾之實。
〔此謂中兩禾實,下禾一秉實數先見,將中秉求中禾,其列實以減下實。而
左方下禾雖去一,以法為母,於率不通。故先以法乘,其通而同之。俱令法為母,
而除下禾實。以下禾先見之實令乘下禾秉數,即得下禾一位之列實。減於下實,
則其數是中禾之實也。〕
余,如中禾秉數而一,即中禾之實。
〔余,中禾一位之實也。故以一位秉數約之,乃得一秉之實也。〕
求上禾,亦以法乘右行下實,而除下禾、中禾之實。
〔此右行三禾共實,合三位之實。故以二位秉數約之,乃得一秉之實。今中
下禾之實其數並見,令乘右行之禾秉以減之。故亦如前各求列實,以減下實也。〕
余,如上禾秉數而一,即上禾之實。實皆如法,各得一斗。
〔三實同用,不滿法者,以法命之。母、實皆當約之。〕
今有上禾七秉,損實一斗,益之下禾二秉,而實一十斗;下禾八秉,益實一
斗,與上禾二秉,而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實一
斗五十二分斗之一十八。下禾一秉實五十二分斗之四十一。
術曰:如方程。損之曰益,益之曰損。
〔問者之辭雖?今按:實雲上禾七秉,下禾二秉,實一十一斗;上禾二秉,
下禾八秉,實九斗也。“損之曰益”,言損一斗,余當一十斗;今欲全其實,當
加所損也。“益之曰損”,言益實以一斗,乃滿一十斗;今欲知本實,當減所加,
即得也。〕
損實一斗者,其實過一十斗也;益實一斗者,其實不滿一十斗也。
〔重諭損益數者,各以損益之數損益之也。〕
今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,實皆不滿斗。上取中、中取下、下取
上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何?答曰上禾一秉實二十五分斗
之九。中禾一秉實二十五分斗之七。下禾一秉實二十五分斗之四。
術曰:如方程。各置所取。
〔置上禾二秉為右行之上,中禾三秉為中行之中,下禾四秉為左行之下,所
取一秉及實一斗各從其位。諸行相借取之物皆依此例。〕
以正負術入之。
正負 術曰:
〔今兩算得失相反,要令正負以名之。正算赤,負算黑,否則以邪正為異。
方程自有赤、黑相取,法、實數相推求之術。而其並減之勢不得廣通,故使赤、
黑相消奪之,於算或減或益。同行異位殊為二品,各有並、減之差見於下焉。著
此二條,特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程,減、益雖殊
足以通左右之數,差、實雖分足以應同異之率。然則其正無入以負之,負無入以
正之,其率不妄也。〕
同名相除,
〔此謂以赤除赤,以黑除黑,行求相減者,為去頭位也。然則頭位同名者,
當用此條,頭位異名者,當用下條。〕
異名相益,
〔益行減行,當各以其類矣。其異名者,非其類也。非其類者,猶無對也,
非所得減也。故赤用黑對則除,黑;無對則除,黑;黑用赤對則除,赤;無對則
除,赤;赤黑並於本數。此為相益之,皆所以為消奪。消奪之與減益成一實也。
術本取要,必除行首。至於他位,不嫌多少,故或令相減,或令相併,理無同異
而一也。〕
正無入負之,負無入正之。
〔無入,為無對也。無所得減,則使消奪者居位也。其當以列實或減下實,
而行中正負雜者亦用此條。此條者,同名減實,異名益實,正無入負之,負無入
正之也。〕
其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。
〔此條異名相除為例,故亦與上條互取。凡正負所以記其同異,使二品互相
取而已矣。言負者未必負於少,言正者未必正於多。故每一行之中雖復赤黑異算
無傷。然則可得使頭位常相與異名。此條之實兼通矣,遂以二條反覆一率。觀其
每與上下互相取位,則隨算而言耳,猶一術也。又,本設諸行,欲因成數以相去
耳。故其多少無限,令上下相命而已。若以正負相減,如數有舊增法者,每行可
均之,不但數物左右之也。〕
今有上禾五秉,損實一斗一升,當下禾七秉;上禾七秉,損實二斗五升,當
下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉五升。下禾一秉二升。
術曰:如方程。置上禾五秉正,下禾七秉負,損實一斗一升正。
〔言上禾五秉之實多,減其一斗一升,余,是與下禾七秉相當數也。故互其
算,令相折除,以一斗一升為差。為差者,上禾之餘實也。〕
次置上禾七秉正,下禾五秉負,損實二斗五升正。以正負術入之。
〔按:正負之術,本設列行,物程之數不限多少,必令與實上下相次,而以
每行各自為率。然而或減或益,同行異位,殊為二品,各自並、減,之差見於下
也。〕
今有上禾六秉,損實一斗八升,當下禾一十秉;下禾一十五秉,損實五升,
當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實八升。下禾一秉實三
升。
術曰:如方程。置上禾六秉正,下禾一十秉負,損實一斗八升正。次,上禾
五秉負,下禾一十五秉正,損實五升正。以正負術入之。
〔言上禾六秉之實多,減損其一斗八升,余是與下禾十秉相當之數。故亦互
其算,而以一斗八升為差實。差實者,上禾之餘實。〕
今有上禾三秉,益實六斗,當下禾一十秉;下禾五秉,益實一斗,當上禾二
秉。問上、下禾實一秉各幾何?答曰:上禾一秉實八斗。下禾一秉實三斗。
術曰:如方程。置上禾三秉正,下禾一十秉負,益實六斗負。次置上禾二秉
負,下禾五秉正,益實一斗負。以正負術入之。
〔言上禾三秉之實少,益其六斗,然後於下禾十秉相當也。故亦互其算,而
以六斗為差實。差實者,下禾之餘實。〕
今有牛五,羊二,直金十兩;牛二,羊五,直金八兩。問牛、羊各直金幾何?
答曰:牛一直金一兩二十一分兩之一十三。羊一直金二十一分兩之二十。
術曰:如方程。
〔假令為同齊,頭位為牛,當相乘。右行定,更置牛十,羊四,直金二十兩;
左行:牛十,羊二十五,直金四十兩。牛數等同,金多二十兩者,羊差二十一使
之然也。以少行減多行,則牛數盡,惟羊與直金之數見,可得而知也。以小推大,
雖四五行不異也。〕
今有賣牛二,羊五,以買一十三豕,有餘錢一千;賣牛三,豕三,以買九羊,
錢適足;賣六羊,八豕,以買五牛,錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何?答曰
牛價一千二百。羊價五百。豕價三百。
術曰:如方程。置牛二,羊五正,豕一十三負,余錢數正;次,牛三正,羊
九負,豕三正;次五牛負,六羊正,八豕正,不足錢負。以正負術入之。
〔此中行買、賣相折,錢適足,故但互買賣算而已。故下無錢直也。設欲以
此行如方程法,先令二牛遍乘中行,而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣。故
注曰正無實負,負無實正,方為類也。方將以別實加適足之數與實物作實。
盈不足章“黃金白銀”與此相當。“假令黃金九,白銀一十一,稱之重適等。
交易其一,金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何?”與此同。〕
今有五雀六燕,集稱之衡,雀俱重,燕俱輕。一雀一燕交而處,衡適平。並
雀、燕重一斤。問雀、燕一枚各重幾何?答曰:雀重一兩一十九分兩之一十三。
燕重一兩一十九分兩之五。
術曰:如方程。交易質之,各重八兩。
〔此四雀一燕與一雀五燕衡適平,並重一斤,故各八兩。列兩行程數。左行
頭位其數有一者,令右行遍除。亦可令於左行而取其法、實於左。左行數多,以
右行取其數。左頭位減盡,中、下位算當燕與實。右行不動。左上空,中法,下
實,即每枚當重宜可知也。按:此四雀一燕與一雀五燕其重等,是三雀、四燕重
相當。雀率重四,燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也,即其數也。〕
今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十,乙得甲太半而亦錢五十。
問甲、乙持錢各幾何?答曰:甲持三十七錢半。乙持二十五錢。
術曰:如方程。損益之。
〔此問者言一甲,半乙而五十;太半甲,一乙亦五十也。各以分母乘其全,
內子。行定:二甲,一乙而錢一百;二甲,三乙而錢一百五十。於是乃如方程。
諸物有分者放此。〕
今有二馬,一牛,價過一萬,如半馬之價;一馬,二牛,價不滿一萬,如半
牛之價。問牛、馬價各幾何?答曰:馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六。牛
價一千八百一十八錢一十一分錢之二。
術曰:如方程。損益之。
〔此一馬半與一牛價直一萬也,二牛半與一馬亦直一萬也。一馬半與一牛直
錢一萬,通分內子,右行為三馬,二牛,直錢二萬。二牛半與一馬直錢一萬,通
分內子,左行為二馬,五牛,直錢二萬也。〕
今有武馬一匹,中馬二匹,下馬三匹,皆載四十石至阪,皆不能上。武馬借
中馬一匹,中馬借下馬一匹,下馬借武馬一匹,乃皆上。問武、中、下馬一匹各
力引幾何?答曰:武馬一匹力引二十二石七分石之六。中馬一匹力引一十七石七
分石之一。下馬一匹力引五石七分石之五。
術曰:如方程。各置所借,以正負術入之。
今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆。乙三綆不足,以丙一綆;丙四綆不
足,以丁一綆;丁五綆不足,以戊一綆;戊六綆不足,以甲一綆。如各得所不足
一綆,皆逮。問井深、綆長各幾何?答曰:井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺
五寸。乙綆長一丈九尺一寸。丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。戊綆
長七尺六寸。
術曰:如方程。以正負術入之。
〔此率初如方程為之,名各一逮井。其後,法得七百二十一,實七十六,是
為七百二十一綆而七十六逮井,並用逮之數。以法除實者,而戊一綆逮井之數定,
逮七百二十一分之七十六。是故七百二十一為井深,七十六為戊綆之長,舉率以
言之。〕
今有白禾二步,青禾三步,黃禾四步,黑禾五步,實各不滿斗。白取青、黃,
青取黃、黑,黃取黑、白,黑取白、青,各一步,而實滿斗。問白、青、黃、黑
禾實一步各幾何?答曰:白禾一步實一百一十一分斗之三十三。青禾一步實一百
一十一分斗之二十八。黃禾一步實一百一十一分斗之一十七。黑禾一步實一百一
十一分斗之一十。
術曰:如方程。各置所取,以正負術入之。
今有甲禾二秉,乙禾三秉,丙禾四秉,重皆過於石。甲二重如乙一,乙三重
如丙一,丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何?答曰:甲禾一秉重二十
三分石之一十七。乙禾一秉重二十三分石之一十一。丙禾一秉重二十三分石之一
十。
術曰:如方程。置重過於石之物為負。
〔此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲?如乙一秉重矣。互其算,
令相折除,而一以石為之差實。差實者,如甲禾余實。故置算相與同也。〕
以正負術入之。
〔此入,頭位異名相除者,正無入正之,負無入負之也。〕
今有令一人,吏五人,從者一十人,食雞一十;令一十人,吏一人,從者五
人,食ji6*八;令五人,吏一十人,從者一人,食雞六。問令、吏、從者食雞各幾
何?答曰令一人食一百二十二分雞之四十五。吏一人食一百二十二分雞之四十一。
從者一人食一百二十二分雞之九十七。
術曰:如方程。以正負術入之。
今有五羊,四犬,三雞,二兔,直錢一千四百九十六;四羊,二犬,六雞,
三兔,直錢一千一百七十五;三羊,一犬,七雞,五兔,直錢九百五十八;二羊,
三犬,五雞,一兔,直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何?答曰:羊價
一百七十七。犬價一百二十一。雞價二十三。兔價二十九。
術曰:如方程。以正負術入之。
今有麻九斗,麥七斗,菽三斗,荅二斗,黍五斗,直錢一百四十;麻七斗,
麥六斗,菽四斗,荅五斗,黍三斗,直錢一百二十八;麻三斗,麥五斗,菽七斗,
荅六斗,黍四斗,直錢一百一十六;麻二斗,麥五斗,菽三斗,荅九斗,黍四斗,
直錢一百一十二;麻一斗,麥三斗,菽二斗,荅八斗,黍五斗,直錢九十五。問
一斗直幾何?荅曰:麻一斗七錢。麥一斗四錢。菽一斗三錢。荅一斗五錢。黍一
斗六錢。
術曰:如方程。以正負術入之。
〔此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆為大事。其拙於精理徒按本術者,
或用算而布氈,方好煩而喜誤,曾不知其非,反欲以多為貴。故其算也,莫不暗
於設通而專於一端。至於此類,苟務其成,然或失之,不可謂要約。更有異術者,
庖丁解牛,遊刃理間,故能歷久其刃如新。夫數,猶刃也,易簡用之則動中庖丁
之理。故能和神愛刃,速而寡尤。凡九章為大事,按法皆不盡一百算也。雖布算
不多,然足以算多。世人多以方程為難,或盡布算之象在綴正負而已,未暇以論
其設動無方,斯膠柱調瑟之類。聊復恢演,為作新術,著之於此,將亦啟導疑意。
網羅道精,豈傳之空言?記其施用之例,著策之數,每舉一隅焉。
方程新術曰:以正負術入之。令左、右相減,先去下實,又轉去物位,則其
求一行二物正負相借者,是其相當之率。又令二物與他行互相去取,轉其二物相
借之數,即皆相當之率也。各據二物相當之率,對易其數,即各當之率也。更置
成行及其下實,各以其物本率今有之,求其所同。並,以為法。其當相併而行中
正負雜者,同名相從,異名相消,余,以為法。以下置為實。實如法,即合所問
也。一物各以本率今有之,即皆合所問也。率不通者,齊之。
其一術曰:置群物通率為列衰。更置成行群物之數,各以其率乘之,並,以
為法。其當相併而行中正負雜者,同名相從,異名相消,余為法。以成行下實乘
列衰,各自為實。實如法而一,即得。
以舊術為之。凡應置五行。今欲要約,先置第三行,減以第四行,又減第五
行;次置第二行,以第二行減第一行,又減第四行。去其頭位;余,可半;次置
右行及第二行。去其頭位;次以右行去第四行頭位,次以左行去第二行頭位,次
以第五行去第一行頭位;次以第二行去第四行頭位;余,可半;以右行去第二行
頭位,以第二行去第四行頭位。余,約之為法、實。實如法而一,得六,即有黍
價。以法治第二行,得荅價,右行得菽價,左行得麥價,第三行麻價。如此凡用
七十七算。
以新術為此。先以第四行減第三行;次以第三行去右行及第二行、第四行下
位,又以減左行下位,不足減乃止;次以左行減第三行下位,次以第三行去左行
下位。訖,廢去第三行。次以第四行去左行下位,又以減右行下位;次以右行去
第二行及第四行下位;次以第二行減第四行及左行頭位;次以第四行減左行菽位,
不足減乃止;次以左行減第二行頭位,余,可再半;次以第四行去左行及第二行
頭位,次以第二行去左行頭位,余,約之,上得五,下得三,是菽五當荅;次以
左行去第二行菽位,又以減第四行及右行菽位,不足減乃止;次以右行減第二行
頭位,不足減乃止;次以第二行去右行頭位,次以左行去右行頭位;余,上得六,
下得五,是為荅六當黍五;次以左行去右行荅位,余,約之,上為二,下為一;
次以右行去第二行下位,以第二行去第四行下位,又以減左行下位;次,左行去
第二行下位,余,上得三,下得四,是為麥三當菽四;次以第二行減第四行下位;
次以第四行去第二行下位;余,上得四,下得七,是為麻四當麥七。是為相當之
率舉矣。據麻四當麥七,即麻價率七而麥價率四;又麥三當菽四,即為麥價率四
而菽價率三;又菽五當荅三,即為菽價率三而荅價率五;又荅六當黍五,即為荅
價率五而黍價率六;而率通矣。更置第三行,以第四行減之,余有麻一斗,菽四
斗正,荅三斗負,下實四正。求其同為麻之數,以菽率三、荅率五各乘其斗數,
如麻率七而一,菽得一斗七分斗之五正,荅得二斗七分斗之一負。則菽、荅化為
麻。以並之,令同名相從,異名相消,余得定麻七分斗之四,以為法。置四為實,
而分母乘之,實得二十八,而分子化為法矣以法除得七,即麻一斗之價。置麥率
四、菽率三、荅率五、黍率六,皆以麻乘之,各自為實。以麻率七為法。所得即
各為價。 亦可使置本行實與物同通之,各以本率今有之,求其本率所得。並,
以為法。如此,即無正負之異矣,擇異同而已。 又可以一術為之。置五行通率,
為麻七、麥四、菽三、荅五、黍六,以為列衰。成行麻一斗,菽四斗正,荅三斗
負,各以其率乘之。訖,令同名相從,異名相消,余為法。又置下實乘列衰,所
得各為實。此可以置約法,則不復乘列衰,各以列衰為價。如此則凡用一百二十
四算也。〕
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目錄:九章算術
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